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TIR D'HOHMANN VERS JUPITER |
Une sonde est injectée, au voisinage de la terre à une altitude sol Zo = 422 km, à destination de la planète Jupiter, avec un vol de type Hohmann.
Les orbites des planètes sont supposées circulaires et concentriques.
Les caractéristiques classiques des astres ( Constante de gravitation et rayon sont données) :
TERRE =====>
JUPITER ====> mJ = 1.268 108 km3/s-2 , RJ =71400 km
SOLEIL =====> mS = 13.27 1010 km3/s-2
Ci-dessous les distances moyennes au Soleil :
Distance Soleil -Jupiter = 750 106 km
Distance Soleil -Terre = 150 106 km
NB 1: Il est clair que cet exercice est une simplification par rapport à un tir réel, son but est de fournir un bon ordre de grandeur de la vitesse minimale de tir vers la planète Jupiter.
NB 2 : Considéré comme un exercice simple, la solution n'est pas beaucoup détaillée, seuls les résultats sont donnés et les points forts expliqués. La solution est sur cette même page.
1°) Calculer les éléments caractéristiques de l'orbite de transfert héliocentrique de la sonde. Donner la durée en jours du voyage héliocentrique.
2°) La planète Jupiter est survolée à 30000 km de la surface, calculer
la vitesse de survol au périgée.
Calculer l'incrément de vitesse
DV que la planète "offre" à la sonde dans le tremplin gravifique.3°) Le tir est effectué de telle manière que l'on profite au mieux de la vitesse d'entraînement de la terre autour du soleil.
Quelle a été la vitesse absolue d'injection à 422 km du sol terrestre? Donner la constante C3 de ce tir.
SOLUTION
1°) CARACTERISTIQUES DE L'ORBITE DE TRANSFERT:
Il s'agit du transfert héliocentrique, ellipse dans l'écliptique, avec un périgée au niveau de l'orbite terrestre et un apogée au niveau de l'orbite de Jupiter.
a = 450 106 km, ra = 750 106 km, rp = 150 106 km
e = 0.66666
Durée du voyage D = T/2 = 952.84 jours solaires moyens de 86400 s, soit environ 31 mois.
2°) SURVOL DE JUPITER AU PERIGEE:
Il faut bien comprendre que la géométrie de la rencontre de type Hohmann est très particulière, avec une vitesse d'arrivée de la sonde parallèle à celle de Jupiter sur son orbite, conformément au dessin ci-dessous.
On se persuadera que la sonde doit être en "avance" au rendez-vous, et que vue de Jupiter, elle donnera l'impression de revenir en arrière, ou encore d'être "gobée" par la planète.
VS1 et VS2 désignent les vitesses héliocentriques de la sonde.
VS2 = 7.68 km/s
La vitesse de Jupiter est VJ = 13.3 km/s
La vitesse à l'infini d'arrivée ( à la limite de la sphère d'influence de Jupiter) ou encore la vitesse relative vaut VR = 5.62 km/s. Cette vitesse est celle de la sonde sur l'hyperbole de descente, à l'infini sur l'asymptote d'arrivée.
La conservation de l'énergie donne alors la vitesse au périgée :
Vp = 50.32 km/s.
C'est une vitesse énorme, qui est crée par la planète géante Jupiter, dont la gravitation est très puissante.
L'effet de tremplin gravitationnel, c'est à dire le gain de vitesse héliocentrique entre l'arrivée et la sortie de la sphère d'influence est donnée par la formule du cours:
Le calcul donne alors
DV = 10.96 km/s. Le lecteur réalisera qu'un tel incrément de vitesse nécessiterait un lanceur tri-étages s'il fallait le délivrer par une motorisation emportée.3°) DEPART DE LA TERRE:
VS1 = 38.4 km/s, cette vitesse résulte de la composition optimale ( alignement de la vitesse à l'infini de départ de la terre et de la vitesse de la terre sur son orbite VT = 29.74 km/s)
Donc la vitesse à l'infini par rapport à la Terre, vaut 8.66 km/s. La conservation de l'énergie sur l'hyperbole de départ fournit la vitesse du tir à 422 km, soit Vo = 13.86 km/s, telle est la vitesse minimale du tir vers Jupiter.
La constante C3 de ce tir vaut : C3 = 75 km²/s².
Guiziou Robert février 2003